date/vreme: 21/11/2022, 12:00
venue/mesto: Svečana sala FTN
Workshop/radionica: Logičko-algebarsko-diskretni susreti (LADIS) PMF@FTN
Speaker / Predavač
Prof. Igor Dolinka, dopisni član SANU
Departman za matematiku i informatiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu
https://people.dmi.uns.ac.rs/~dockie/ (home page)
Title / Naslov:
Kratka šetnja kroz kombinatornu teoriju (polu)grupa
Abstract / Sažetak:
Grupe (a sa njima i polugrupe) kao algebarske strukture predstavljaju jednu od fundamentalnih alata u matematici, ali i matematičkom modelovanju u prirodnim i društvenim naukama i tehnici. Njihov glavni "pojavni oblik" jesu grupe permutacija, odnosno polugrupe transformacija, i kao takve predstavljaju apstraktnu formalizaciju reverzibilnih/ireverzibilnih procesa. Takođe, kroz grupe se izražava i (intuitivni) koncept simetrije, pre svega u izučavanju geometrijskih i topoloških objekata.
Sasvim drugi pogled na ove strukture pruža tzv. kombinatorna algebra, tj. pristup putem "generatora i relacija", prezentacija grupa i polugrupa. Ovde se (polu)grupa prikazuje kao količnik odgovarajuće slobodne strukture (slobodne grupe, slobodne polugrupe, slobodnog inverznog monoida, itd.), i taj pristup svoju prirodnu inspiraciju crpi iz algebarske topologije, tj. iz pojma fundamentalne grupe kompleksa/mnogostrukosti. Takođe, ovakav pristup je nezaobilazan u izučavanju algoritamskih problema u algebri (kakav je, na primer, problem reči), gde je, za početak, potrebno beskonačnu (i potencijalno vrlo složenu) strukturu zadati konačnom količinom podataka.
U ovom predavanju, daću kratak pregled rezultata u dva tematska kruga iz kombinatorne teorije (polu)grupa (zagrade, i ovde i u naslovu, su namerne, jer ukazuju na "koktel" dve oblasti) kojima sam se bavio poslednjih nekoliko godina. Prvi od njih se odnosi na probleme reči u monoidima i inverznim monoidima definisanim jednom relacijom; ova problematika je, ispostavlja se, tesno povezana sa složenijim algoritamskim problemima u 1-relatorskim grupama. (Klasičan rezultat W.Magnusa iz 1932. veli da sve 1-relatorske grupe imaju algoritamski rešiv problem reči.) Drugi tematski krug odnosi se na tzv. slobodne idempotentno-generisane polugrupe. Pored njihovog problema reči (koji se može izraziti kao optimizacijski problem potpuno u jeziku teorije grupa), posebno mesto zauzima izučavanje maksimalnih podgrupa ovih polugrupa, koje nastaju kao fundamentalne grupe određenih 2-dimenizionalnih kompleksa "utkanih" (ili bolje reći: "skrivenih"?) unutar svake polugrupe.