Predmetni nastavnik: Maja Nedović, kabinet 115, F-blok, e-mail maja.nedovic@uns.ac.rs, konsultacije utorkom u 11.15h

Pravila polaganja ispita

Ispit čine 2 kolokvijuma. Struktura kolokvijuma je sledeća:

KOLOKVIJUM 1:

PREDISPITNE OBAVEZE PO1 (15 bodova)
*TEORIJA T1 (15 bodova)
*ZADACI Z1 (20 bodova).

KOLOKVIJUM 2:

PREDISPITNE OBAVEZE PO2 (15 bodova)
*TEORIJA T2 (15 bodova)
*ZADACI Z2 (20 bodova).

Bodovi osvojeni na PO1 i PO2 važe dve godine. (Npr., predispitne obaveze za studente koji su slušali predmet u letnjem semestru 2017. godine važe zaključno sa aprilskim rokom 2019. godine.) Položena teorija i/ili položeni zadaci važe dok naredna generacija ne odsluša predmet. (Npr., za studente koji su slušali predmet u letnjem semestru 2017. godine, položeni delovi T ili Z važe zaključno sa aprilskim rokom 2018. godine).

U svim ispitnim rokovima, novi studenti, kao i stari studenti koji su prijavili parcijalno polaganje, mogu da polažu samo teoriju1 ili teoriju2 ili samo zadatke1 ili samo zadatke2 ili više delova odjednom. Da biste polagali bilo koji deo ispita u ispitnom roku, neophodno je da prethodno prijavite ispit. Novi studenti, kao i stari studenti koji su prijavili parcijalno polaganje imaju pravo izlaska na kolokvijume i mogu da rade predispitne obaveze. PO se rade samo u terminu kolokvijuma, ne i u ispitnim rokovima. Stari studenti koji nisu prijavili ni ponovno slušanje ni parcijalno polaganje neće moći da rade predispitne obaveze, a teoriju i zadatke polagaće U CELINI, (pri čemu od dostupnih 70 bodova treba da osvoje 51 za prolaz).

Studenti koji su položili i teoriju i zadatke (osvojili su na svakom pojedinačnom delu više od 50%) biće pozvani na usmeni, koji je ujedno i upis ocena. Upis ocena, tj. usmeni deo ispita je OBAVEZAN i na upis morate doći lično. Termin za upis ocena biće istaknut nekoliko dana nakon pismenog ispita, zajedno sa rezultatima pismenog.

Studenti koji polože i teoriju i zadatke, ali nisu zadovoljni osvojenim brojem bodova, treba da dođu na gledanje radova/upis ocena i da nas obaveste da li žele da ponište neki deo ispita (moguće je poništiti samo teoriju ili samo zadatke ili sve). Obratite pažnju na to da jednom poništeni bodovi više ne važe, brišu se iz evidencije, čak i u slučaju da nakon poništavanja osvojite manji broj bodova nego što ste imali.

Literatura

Matematička analiza 1 – uvodni pojmovi i granični procesi.
Autori: Kovačević, I., Marić, V., Ralević, N., Novković, M., Carić, B., Medić, S.
FTN, Novi Sad, 2017

Matematička analiza 1 – diferencijalni i integralni račun, obične diferencijalne jednačine.
Autori: Kovačević, I., Marić, V., Ralević, N., Novković, M., Carić, B., Medić, S.
FTN, Novi Sad, 2017

Zbirka rešenih zadataka iz matematičke analize 1.
Autori: Novković, M., Carić, B., Medić, S., Ćurić, V., Kovačević, I.
FTN, Novi Sad, 2017

Teorijska pitanja

Prvi deo:

1.Pojam funkcije. Injektivna funkcija. Funkcija skupa u skup. Sirjektivna funkcija. Bijektivna funkcija. Inverzna funkcija. Potreban i dovoljan uslov za postojanje inverzne funkcije.

2.Osobine realnih funkcija jedne realne promenljive – domen, ograničenost, parnost, periodičnost.

3.Osobine realnih funkcija jedne realne promenljive – monotonost i ekstremne vrednosti.

4.Osobine realnih funkcija jedne realne promenljive – konveksnost, konkavnost i prevojne tačke.

5.Metrički prostor – definicija i primer metrike, definicija i primer otvorene lopte u metričkom prostoru, definicija i primer tačke nagomilavanja skupa u metričkom prostoru.

6.Granična vrednost funkcije – definicija u proizvoljnom metričkom prostoru i definicija u R. Proširenje definicije granične vrednosti funkcije na +,- beskonačno. Leva i desna granična vrednost funkcije.

7.Pokazati po definiciji da je granična vrednost funkcije f(x)=2x+1 u tački x=1 jednaka 3. Pokazati po definiciji da ne postoji granična vrednost funkcije f(x)=sgn(x) u tački x=0.

8.Osobine granične vrednosti funkcije – formulacije teorema (lokalna ograničenost; limes zbira, proizvoda i količnika; čuvanje znaka; čuvanje poretka; teorema o dva žandara).

9.Neprekidnost funkcije u tački – definicija u proizvoljnom metričkom prostoru i definicija u R. Veza sa definicijom granične vrednosti funkcije u tački.

10.Pokazati po definiciji da je konstantna funkcija, f(x)=c, c=const, neprekidna u svakoj tački domena R, kao i da je identička funkcija, f(x)=x, neprekidna u svakoj tački domena R.

11.Osobine neprekidnih funkcija : zbir, razlika, proizvod, količnik i kompozicija neprekidnih funkcija – formulacije teorema (dokaz za ocenu 10 – tvrđenje o zbiru neprekidnih funkcija).

12.Osobine neprekidnih funkcija nad zatvorenim intervalom – formulacije teorema.

13.Tačka prekida- definicija. Vrste prekida i primeri.

14.Izvod funkcije – definicija, geometrijska i mehanička interpretacija.

15.Odrediti po definiciji izvode funkcija: f(x)=c, c=const , g(x)=x, h(x)=sinx.

16.Odrediti po definiciji izvode funkcija: f(x)=x^n , g(x)=cosx.

17.Jednačina tangente i normale. Primer-napisati jednačinu tangente i normale na krivu y= f(x), f(x)=x^2 u tački krive čija je apscisa x=1.

18.Ako funkcija f ima izvod u tački x, tada je f neprekidna u tački x (dokaz za ocenu 10). Pokazati na primeru funkcije f(x)=|x| u nuli da obrnuto ne mora da važi.

19.Izvod zbira, proizvoda, količnika-formulacija teoreme (dokaz za zbir za ocenu 10).

20.Izvod složene funkcije – formulacija teoreme. Izvod inverzne funkcije – formulacija teoreme.

21.Izvod parametarski zadate funkcije – formulacija teoreme. Izvodi višeg reda – definicija.

22.Diferencijal funkcije – definicija i geometrijska interpretacija.

23.Osnovne teoreme diferencijalnog računa : Rolova teorema – formulacija i geometrijska interpretacija (dokaz za ocenu 10).

24. Osnovne teoreme diferencijalnog računa : Lagranžova teorema – formulacija i geometrijska interpretacija (dokaz za ocenu 10).

25.Osnovne teoreme diferencijalnog računa : Košijeva teorema – formulacija. (dokaz za ocenu 10).

26.Lopitalovo pravilo – formulacija teoreme i jedan primer primene.

27.Tejlorova i Maklorenova teorema – formulacija.

28.Ispitivanje funkcija – primena izvoda u ispitivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti funkcije.

29.Ispitivanje funkcija – primena izvoda u ispitivanju konveksnosti, konkavnosti i prevojnih tačaka.

30.Ispitivanje funkcija – asimptote.

Drugi deo:

31.Funkcionalni redovi – obična i uniformna konvergencija funkcionalnog reda – definicija. Vajerštrasov dovoljan uslov za uniformnu konvergenciju funkcionalnog reda – formulacija i jedan primer primene.

32.Stepeni redovi – poluprečnik konvergencije.

33.Primitivna funkcija i neodređeni integral – definicija. Osobine neodređenog integrala.

34.Smena promenljive i parcijalna integracija za neodređeni integral – formulacija teorema i po jedan primer primene. (dokaz za parcijalnu integraciju za ocenu 10).

35.Određeni integral – motivacija i definicija.

36.Veza određenog i neodređenog integrala : Njutn-Lajbnicova teorema, formulacija i jedan primer primene (dokaz za ocenu 10).

37.Osobine određenog integrala.

38.Teorema srednje vrednosti za određeni integral-formulacija i geometrijska interpretacija (dokaz za ocenu 10).

39.Smena promenljive i parcijalna integracija za određeni integral – formulacija teorema i po jedan primer primene. (dokaz za parcijalnu integraciju za ocenu 10).

40.Primena određenog integrala na izračunavanje površine ravnog lika- u Dekartovim koordinatama, za parametarski definisanu funkciju i u polarnim koordinatama. Navesti jedan primer izračunavanja površine ravnog lika pomoću određenog integrala u Dekartovim koordinatama. (Za visoku ocenu izvesti formulu u polarnim koordinatama).

41.Primena određenog integrala na izračunavanje dužine luka ravne krive- u Dekartovim koordinatama, za parametarski definisanu funkciju i u polarnim koordinatama. Navesti jedan primer izračunavanja dužine luka ravne krive pomoću određenog integrala u Dekartovim koordinatama. (Za visoku ocenu izvesti formulu u Dekartovim koordinatama).

42.Primena određenog integrala na izračunavanje zapremine obrtnog tela- u Dekartovim koordinatama, za parametarski definisanu funkciju i u polarnim koordinatama. Navesti jedan primer izračunavanja zapremine obrtnog tela pomoću određenog integrala u Dekartovim koordinatama. (Za visoku ocenu izvesti formulu u Dekartovim koordinatama).

43.Nesvojstveni integral I vrste. Motivacija, definicija i jedan primer. U zavisnosti od realnog parametra a, ispitati konvergenciju integrala funkcije 1/x^a nad intervalom [1, ∞).

44.Definicija glavne vrednosti integrala na intervalu ( -∞, ∞) i jedan primer. Veza glavne vrednosti integrala na intervalu ( -∞, ∞) i nesvojstvenog integrala I vrste na intervalu ( -∞, ∞).

45.Nesvojstveni integral II vrste. Motivacija, definicija i jedan primer. U zavisnosti od realnog parametra b, ispitati konvergenciju integrala funkcije 1/x^b nad intervalom (0,1].

46.Nesvojstveni integral III vrste. Motivacija, definicija i jedan primer.

47.Kriterijumi konvergencije nesvojstvenog integrala – uporedni kriterijum i kriterijum ponašanja. Napisati po jedan primer za primenu uporednog kriterijuma i za primenu kriterijuma ponašanja.